对“正比例意义”知识的分析和教学思考

江苏省扬州市邗江区实验小学            秦仕祥 

正比例的意义是苏教版新课标小学六年级数学下册教材第五单元的教学内容，由于其概念高度抽象，学生难以理解和掌握，自然成了小学数学教学的难点内容。如何突破这一教学难点呢？笔者结合自己的教学实践谈谈对正比例意义的理解和教学处理。

一、对正比例意义本质的研究

教材中是通过“一辆汽车在公路上行驶的路程和时间”的研究得出正比例意义的：路程和时间是两种相关联的量，时间变化，路程也随着变化。当路程和对应的时间的比的比值总是一定（也就是速度一定）时，我们就说行驶的路程和时间成正比例，行驶的路程和时间是成正比例的量。这样的文字表述不但冗长而且非常抽象，要想帮助学生理解这段文字的意义，首先要挖掘着段文字背后蕴涵着非常丰富内涵，重点厘清以下三个核心问题：

1、路程与时间为什么是“两种相关联的量”

这个问题要厘清两个概念：一是这里的量是指什么？二是什么是相关联的量？首先，正比例意义中的“量”是指的两种数量，而且是不断变化的两种数量，如例题中的时间不是固定不变的，而且可以任意变化的，可以是1小时，也可以是2小时、1.8小时、3.5小时、小时……路程也与时间一样是变化的量，由于它们是不断变化的，所以不可以用具体的数量多少小时、多少千米来描述，所以只能用“路程”与“时间”来叙述；其次，例题中的路程与时间不是互相孤立的两种量，而是具有除法运算关系“路程÷时间＝速度”，所以这辆汽车行行的时间和路程是两种相关联的量。只要有运算关系的两种量都是是相关联的量。

2、时间变化，路程怎样随着时间的变化而变化

路程与时间是两种相关联的量，它们的时间先发生变化，路程后发生变化，也就是路程随着时间的变化而变化，时间的自变量、路程的变量。但是路程的怎样随着时间的变化而变化的呢？成比例的量有两种不同情况：一是成正比例，二是成反比例。但是正比例与反比例的意义中都有“××变化，××也随着变化”，但是正比例与反比例变化的情况是有区别的：正比例是一种量扩大另一种量也随着扩大，一种量缩小另一种量随着缩小，两种量变化的方向一致，而反比例是一种量扩大另一种量反而缩小，一种量缩小另一种量反而扩大，两种量变化的方向相反。所以成正比例意义中两种量变化的方向相同，既同时扩大或同时缩小。

3、为什么说“路程与时间成正比例”

“行驶的路程和时间成正比例”实际上是分两步归纳出来的：第一步是研究得出路程和时间成“比例”，第二步是研究得出路程和时间成“正”比例。

（1）为什么路程与时间成比例

两种相关联的量只能说明这两种量之间有关系，但不一定都是成比例的，怎样的两种量才是成比例的量呢？如：

表1：

表2：

从表1中任意取两组四个数据都可以组成比例，如：80：1＝160：2，160：2＝240：3……无一反例，所以表1中的路程和时间就是成比例的量。然而从表2中任意取两组四个数据有时可以组成比例，如：80：1＝480：6，有时不能组成比例，如：80：1≠140：2，由于有反例，所以表2中的路程和时间就不是成比例的量。

（2）路程与时间为什么成正比例

我们来研究表1中的数据：先从左向右研究，时间从1小时到2小时，扩大了2倍，路程从80千米到160千米也扩大了2倍……再从右向左研究，时间从2小时到1小时，缩小到原来的，路程从160千米到80千米也随着缩小到原来的……，路程与实际变化的“方向”相同，所以路程与时间是成正比例。

二、正比例意义学习心理研究

1、由于概念过于抽象，造成学生难以理解

正比例的意义与学生以前学习的数学概念有很大的区别，以前学习的倍数、因数、倍数、分数等数的概念都与具体的数紧密联系，学生只要把这些概念与相对应的数进行联系就能理解其意义，长方形、正方形、三角形等几何知识都与直观图形相联系，头脑里只要再现相关图形的表象就能够进行思维。而正比例的意义的概念是研究的两个数量之间变化规律，它避开了具体的数进行思维，而是借助抽象的数学名词进行思考，正比例意义的文字表述对于以形象思维为主、抽象思维能力不发达的小学生来说就显晦涩难懂，学生难以理解是符合儿童的思维特点和学习心里的。

2、由于缺泛思维抓手，造成学生难以思考

正比例自然与它的上位概念比例有联系，但是教材编写内容中没有出现一个比例式，只是出现“＝80、＝（     ）、＝（    ）……我们可以用式子表示上面的数量关系：＝速度（一定）”，接着就呈现正比例的意义的文字表述，学生自然感到奇怪：没有见到一个比例式怎么叫做成正比例呢？由于学生没有组比例式的实践活动，缺泛思维抓手，所以学生对正比例意义体验不深刻、感悟不到位。

三、智慧处理正比例意义教学

1、处理好动眼观察与动脑思考的关系

正比例的意义教学是从观察“一辆汽车行驶的路程与时间”的表格开始的，观察的目的是为了深入的思考，所以在观察表格的同时教师要引发学生进行相应的思考，重点引导学生思考和解决这几个问题：

⑴表中有哪两种数量，它们有什么关系？（目的：帮助学生了解相关联的量）

⑵根据表中提供的数据可以提出什么数学问题？（目的：为后继教学提供生成资源）

⑷怎样计算这辆汽车行驶的平均速度呢？（目的：把学生引导到用比求速度上来）

⑸观察这些比的比值你发现什么？（目的：使学生发现所有比的比值都相等）

⑹由这些比的比值都相等你联想到什么？（目的：使学生发现从中取两组对应的四个数据可以组成一个比例式）

⑺可以组成哪些不同的比例式？（目的：使学生明白任意取两组数据都可以组成比例）

⑻如果按照这样的规律接着写数据，从中任意选两组数据还能组成比例吗？为什么？ （目的：帮助学生进行抽象，为概括正比例意义奠定基础）

⑼研究到此，请同学们想一想这两种量存在什么关系呢？（目的：概括出正比例意义）

2、处理好形象思维与抽象思维的关系

正比例的意义这段文字非常抽象，如果照本宣科地进行教学，学生是无法真正理解正比例意义的，部分聪明学生虽然能够判断两种量是否成正比例，但是未必是学生缘于自己对正比例意义的准确理解而得出的结论，很可能是学生凭感觉“依样画葫芦”式的形式上的叙述。所以教学时要化抽象为形象，引导学生结合具体数据进行分析与思考，让学生多进行选取几组数据组比例的实践活动，在组成几个比例之后重点研究：如果把省略号后的数据写出来，从中选两组对应数据还能组成比例吗？使学生在组比例的形象活动和抽象思考中体验到任意取两组四个数据都可以组成比例，帮助学生积累成正比例量的数学活动的经验，把学生的思维逐步从形象状态引申到抽象状态，从而把握成正比例的本质含义，有利于学生理解正比例的意义。

3、处理好逐点研究与思维补白的关系

教材在编写时受诸多因素的限制只能静态地呈现正比例意义的结论，而仅仅按照教材提供的研究活动和正比例意义概念的文字呈述顺序组织教学，学生是很难理解正比例的意义的，教学时既要把正比例意义逐点研究，还需要把隐含的思维进行补白研究。

⑴ 逐点研究1：两种相关联的量

出示没有数据的表格，让学生观察思考：表中有哪两种数量？路程和时间有关系吗？有什么关系？得出：路程÷时间＝速度。在此基础上教师小结：由于路程与时间有除法运算运算，数学上把像这样有运算关系的两种数量叫做“两种相关联的量”。

⑵ 逐点研究2：路程和时间的变化情况

路程和时间是两种相关联的量，它们之间有着什么关系呢？请看（出示各组数据），问：从左向右看，时间怎么变化了？路程呢？谁能具体说说时间和路程是怎么变化的？研究出：时间从1到2，扩大到原来的2倍，路程从80到160，也扩大到原来的2倍……再从右向左看，时间怎么变化了？路程了？时间和路程是谁先变化的？谁后变化的？是哪个量随着哪个量变化？得出：时间变化，路程也随着变化。

⑶ 逐点研究3： 路程与时间的变化规律

时间和路程都在不停地发生变化，有没有固定不变的东西呢？什么不变？引导学生把注意力关注到求每组对应数据的比值（也就是速度）上来，让学生写出每组数据中两个数的比并算出比值，最后使学生在比较中发现：每一组中两个数据的比的比值都等于80，相等。

⑷ 补白研究1：学生进行组比例实践活动

因为路程与时间成正比例是从路程和时间中任意取两组数据都能够组成比例，所以从表中选取两组四个数据组比例活动对学生理解和掌握正比例意义至关重要。因此要对教材编写进行“补白”研究，当学生发现每组中两个数据的比的比值都相等时，应抓住这一契机引导学生展开联想：由每组中两个数的比的比值都相等，你联想到以前学过是什么知识？你能用表格中的数据组比例式吗？可以组成多少个不同的比例？使学生在组比例实践活动中体验到从已知数据中任意取两组四个数据都能组成比例式。

⑸ 补白研究2：省略的数据还能组成比例吗

当学生借助表格提供的数据组比例式之后，及时引导学生思考：如果从省略好部分选两组对应的四个数据还能组成比例吗？为什么还可以组成比例？使学生体验到：省略部分的每组数据中的路程比时间的比值都等于80，比值相等的两个比一定能够组成比例，所以从省略号部分任意选两组四个数据也能组成比例，为揭示正比例意义奠定坚实的思维基础。

（6）补白研究3：路程与时间之间有什么关系

首先揭示“路程与时间”成比例。在学生研究得出“从路程与时间中任意选取相对应的四个数据都可以组成比例”之后，引导学生思考：这里的路程和时间存在什么样的关系呢？根据学生的回答因势利导地揭示出：路程与时间成比例。

其次研究成什么比例。 引导学生再次回到时间与路程怎么变化上来，使学生再次感悟到：从左向右看，时间扩大到原来的2、3……倍，路程也扩大到原来的2、3……倍；从右向左看，时间缩小到原来的、……，路程也缩小到原来的、……两种量是同时扩大或同时缩小，变化的方向是一样的。在此基础上揭示：数学上把这种成比例的量叫做成正比例的量。

    4、处理好语言表述与意义理解的关系

语言是思维的载体，学生对数学概念的理解必须借助于语言文字的表述，教学到此虽然得出了正比例的概念，但是学生还需要借助语言表述进一步理解正比例的意义。此时教师应引导学生再次解释每句话的含义，并尝试用语言完整叙述出正比例的意义，使学生在叙述中加以内化，从而真正理解和掌握正比例的意义。