教学《角的度量》,老师们会遇到一个普遍问题:让学生画60度角时,有学生画成了120度角。尽管教师绞尽脑汁引导学生认识量角器的内外圈刻度,反复强调“与角的一边重合的0度刻度线如果在内圈,就读出内圈上的刻度;如果在外圈,就读出外圈上的刻度”,可一遇到具体的量角、画角的操作,学生依然混淆不清,问题百出,要么将钝角量出了锐角的度数,要么把锐角画成了钝角的样子……对此,教师很无奈,学生也是一脸无辜。
于是,笔者追问:角的度量教学真的那么难吗?是什么原因导致学生混淆不清?真的没有办法改变这种现状吗?虽一时没能找寻到理想的答案,但总感到问题可能出在教学内容上。带着这样的想法,我们在更大范围内展开了追寻。
给简约一个理由
数学课程标准研制组曾随机对200多名中小学教师和大学数学系研究生做过一次调查,问题是“当你看到‘数学’这一个词,你首先想到的是什么?”结果显示:76%的被调查者首先想到的是计算、公式和法则;20%的被调查者首先想到的是烦、枯燥、没意思;只有4%的被调查者首先想到数学使人聪明,数学有趣,有用。而面对同样的问题,小学生的回答更是千奇百怪:数学就是计算;数学就是数字; 数学就是解决问题;数学就是麻烦……那么,究竟是什么遮挡了数学神奇、美妙的一面?毋庸质疑,原因是多方面的,但我们显然不应该回避数学难学的原因。另一项权威调查表明,99.95%以上的人不以数学为职业,绝大多数人一辈子都不解一元二次方程,不需要做几何证明题……从这个意义上说,我们该好好反思作为基础的儿童的数学。
如今,虽然不少版本的小学数学教科书的内容编排已经作了较大调整,但我们依然可以发现繁、难、偏的内容程度不等地存在。而《全日制义务教育数学课程标准》(以下简称《标准》)指出:义务教育阶段的数学课程要面向全体学生,适应学生个性发展的需要,使得人人都能获得良好的数学教育,不同的人在数学上得到不同的发展。因此,小学阶段的数学更应该以促进学生整体发展为本,体现基础性和普及性的基本精神。基于此,儿童的数学简约一些又何妨?
事实上,回首走过的路,人们从未停止过追寻数学教学内容的简约。早在新一轮基础教育课程改革之初,数学教育界就开始在这条路上作了很多有益的尝试:如统一了“乘”和“乘以”的说法;将数字“0”明确界定为自然数;删减了步骤多、数据大的繁杂运算;减少了问题解决的步骤……要知道,原先这些都是需要老师苦口婆心的教,学生不厌其烦的学而效果却很不明显的内容。实践证明,对这些知识仅作了一些小小的改动和调整,就在很大程度上
笔者认为,数学尤其是小学数学不应该是一张“筛子”——将数理逻辑智能相对薄弱的学生淘汰出局。每一个身心发育正常的学生都应该能够学好数学,达到《标准》所拟订的目标。我们应该从有利于所有学生发展的角度,来审视哪些内容可以简约,哪些内容不能简约,并以此为线索,对整个小学阶段乃至更大的范围的教学内容进行一次系统梳理、严谨论证和科学调整。
简约之道何在 我们知道,一个人数学素养的高低,主要体现在是否能“数学地看问题”和“数学地思维”,而不是仅仅体现在是否能解决数学难题上。从这个意义上说,现行数学教材中那些对学生来说犹如“天外来客”般难以琢磨的内容是要简约的,那些必须通过高强度训练但效果普遍欠佳的内容是需要简约的,那些偏离《标准》要求的内容是需要简约的……一言以蔽之,那些对学生终身发展价值不大的教学内容需要科学、合理地简约。
1、数学用具的简化。模型、图片、工具等数学用具,是学生数学学习的支架。科学、合理地简化数学用具,可以提高学生学习的效率。以《角的度量》教学为例。对于课中普遍出现的问题,笔者揣摩:是不是量角器的两圈刻度给学生带来了不便?倘若量角器只有一圈刻度,结果又会怎样呢?带着这样的想法,我们借用四年级两个平行班进行了实验教学:A班学生使用有内外圈刻度的旧量角器,B班学生使用修正液涂抹掉外圈刻度而只剩下内圈刻度的新量角器(如图)。
旧量角器 新量角器 同样的设计,同样的教师,基本同样的学生,却出现了不一样的课堂:在A班课堂上,教者虽然小心翼翼地组织了多次练习,训练学生摆放量角器的位置以及确定内外圈刻度的方法,使他们体会根据角的开口方向摆放量角器的技巧,但仍感觉有些纠缠不清。而在B班的课堂上,学生学习很顺利,连度量不同开口方向的角这一难点内容也轻松解决了。学生也认为只有一圈刻度的量角器让人一目了然,只要“将角的顶点和量角器的中心点重合,一条边和0刻度线对齐,看另一条边所指的刻度,”就能得出正确的结果。课后,笔者分别在这两个班和另外两个五年级平行班组织了同样的检测,结果显示:使用简化后的量角器,更便于学生掌握量角和画角的方法,正确率也有很大提高。
2、语言表述的简化。我们知道,同一件数学事实,同一个数学知识,可以有不同的表述方式。丰富的表述虽然有利于学生更好地理解数学事实,掌握数学知识,但适当地简化表述形式,也能减轻广大师生的困扰。这里以“除”和“除以”为例。和大家一样,笔者对“除”和“除以”的关注由来已久,触发笔者深思的是最近一次调研试卷上的一道错误率较高的经典文字题:0.8与0.4的和除它们的差,商是多少?笔者对该题的错误进行了统计和分析,发现因算式中被除数和除数位置颠倒而出错的学生超过了 3、人为规定的简化。数学教学内容中有许多约定俗成的人为规定,合理地简化这些规定,同样可以减轻学生的学习负担。以教科书上关于圆周率的规定为例:圆周率是一个无限不循环小数,计算时一般保留两位小数约等于3.14。相对于原本的无限不循环小数,这虽然已作了很大的简化,但圆的周长或面积计算依然比较复杂。特别是已知圆的周长,要求圆的直径、半径或面积时,学生将面临除数是三位数的笔算除法。这在《标准》中已不要求笔算,而要求学生使用计算器计算。可问题是,当学生走进考场,没有计算器的支持,他们又该如何应对这样的问题?事实上,一线教师早就发现,每当学到圆以及与圆相关的圆柱、圆锥等知识时,困扰师生的不是解决具体问题的方法,而是计算经常出错。为了应试,许多老师便要求学生熟记一些常用的与圆周率有关的数值,以提高计算的速度和正确率,确实用心良苦。笔者认为,既然可以将圆周率保留两位小数取近似数,当然也可以直接将圆周率精确到个位。再说,初学圆周率时,学生能很快探索出圆的周长总是它直径的3倍多一些,至于多多少是很难发现的,圆周率的值包括近似值3.14,大多是教师直接告诉学生的。笔者感觉,探索之后,教师顺势引导学生将圆的周长近似地看作直径的3倍,学生是很容易接受的,更为重要的是,后续内容的学习将更加便利,至少减少了计算的繁琐程度。 当然,儿童数学内容的简约还有很多途径。我们可以对解题方法进行简约,让学生获得一种一以贯之的学习策略,促进知识迁移,如现行教材中直接采用列方程的方法,解决需要逆向思考的数学问题;可以调整学生在进一步学习中能够自然解决的问题的呈现顺序,让学生的学习“自然地生长”,如由于统计思维与确定性思维有很大差异,统计与概率地学习依赖于人的辩证思维发展,而辩证思维从初中二年级(14岁)开始萌芽,因此这一内容教学后移更加科学;还可以删减当前难以掌握且用处不大,也不影响学生进一步学习的内容,从而切实减轻学生的学习负荷和精神负担…… 简约的底线 当然我们不能一味简单地追求数学教学内容的简约。否则,学生就会因为缺少必备的数学基础而影响自身的发展。 笔者认为,小学数学教学最主要的任务是要把学生的基础打好。对于小学数学“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”三个领域的“双基”,即基础知识和基本技能,一般是不能简约的。这些是学生素质结构尤其是数学素养中最基本的“因子”,缺少了,学生就难以参与进一步的数学学习,更谈不上让数学满足他们在未来社会生活和生产中的需要了。显而易见,“双基”仍然应该是学生数学学习的重点,中国数学教学“双基”扎实的优良传统仍然需要保持和发扬。 布鲁纳指出,所掌握的知识越基础、越概括,对新学习的适应性就越广泛,迁移就越广泛。需要思考的是,在课程改革的背景下,我们对“双基”及其教学应该有怎样的理解。笔者认为,搭建数学课程框架的主干知识、基本技能及其所蕴含的数学思想方法,社会发展对人的发展提出的新要求所涉及的基础知识和基本技能,应当成为当下学生必须花费时间和精力去牢固掌握的“双基”。“双基”的教学应当有高起点,也即要以培养学生的数学能力和创新精神为目标取向。我们要引导学生经历知识的发现过程和应用知识解决问题的过程,启迪学生的思维,开发他们的智力,发展他们的数学观念,提高他们的数学能力,为学生的数学发展奠定坚实的基础。 另一方面,那些与学生的现实生活和已有知识经验联系紧密的综合应用和探索性内容,即使有一定难度,也不应该人为地简约。事实上,让每一个学生都对数学达到最喜欢的程度是不可能的,对于那些不太喜欢数学的学生,教师应该实事求是地尊重学生的选择,对他们提出基本要求;而对于那些特别喜欢数学的学生,则应当为他们创造更多的学习数学的机会和条件,培养他们的数学特长。所以,我们可以通过分层教学,让不同的学生获得不同的发展,收获自信心、责任感、求实态度、科学精神、创新意识和实践能力等重要的公民素质,进而愿意亲近数学、了解数学、应用数学,学会数学地思考。这样的数学学习体验,学生会因此而感受到生活的丰富多彩,感受到数学学习的内在魅力。这不正是在数学课堂中实施素质教育的生动体现吗? 评价何时跟上简约的节拍 教学评价历来是教学的指挥棒,有什么样的评价标准和评价方式,就会有什么样的教学标准和教学方式。可以这么说,目前的教学评价是存在问题的,尤其是在考试命题的尺度上把握不准,导致了教考分离。正因为如此,即使内容简约了,学生的学习负担也不一定能够降下来。面对简约的内容,我们的教师依然放心不下,不得不采取一种更为稳妥的做法:平时教得难一些。其理由是,假如按教材教,而考试难,那学生怎么办?这样一来,教材的简约也就失却了应有的意义。这并非杞人忧天,笔者曾亲眼看见教材上的思考题、教学参考用书中规定只学不考的内容,都常堂而皇之地走进试卷。所有这些,让我们的教师对教学更加迷茫、困惑,无奈之下,只得尽自己所能将知识教得难一些,再难一些。这就在无形中拔高了教学内容的要求。显然,教学评价尤其是考试评价应该跟上内容简约的节拍。 由此可见,我们在践行儿童数学简约的路上,许多时候需要对所有转变成习惯套路的模式提出寻根问底的质疑,对那些被日常化了的操作概念进行教育学意义上的追问。惟有这样,我们追寻教学内容的简约才能真正实现其应有的意义。
(本文为本人与刘正松老师合作,发表于《人民教育》2007年第23期。)
终于有人说出了我们一线教师的心里话!
请问您是江都人吗?
是的。
光明,再次拜读大作,深深感受到大师的厚度。当前形势下,老师、家长们都站在与别的学校、家庭竞争的角度,思考的是如何加大难度,让学生(孩子)在与别人的竞争中胜出,很少能有人像你这样站在国家民族的高度思考中国孩子如何能在与外国孩子的竞争中胜出。显然,我们需要扎实知识的基础,但是我们更需要灵动的以发现问题、解决问题为指向的批判思维能力,以灵活多变的实践能力培养为指向的创新能力。要培养批判思维与创新能力,当今形势下,把学生进一步从繁难的以计算能力(完全可以交给计算机)发展为主数学教育中解放出来,已经到了刻不容缓的时候了。站在这个意义上说,这篇文章有启蒙的意义。
各位同仁,欢迎大家就简约数学的操作模式,提出建设性的建议。