寻找数学教学的着力点 

——刍议数学核心知识的教学

引子：一道错误率居高不下的数学问题

     教学中，相信不少老师都曾教过类似这样的简单问题：
     汽车行100千米需要25升汽油，平均行1千米需要多少升汽油？平均每升汽油能行多少千米？
     对此，我们通常需要花费很多时间去讲解题意，再三强调两者之间的区别，且有针对性地组织强化练习，但效果大多不太理想。只要将问题改变叙述方式，或呈现新的情境，例如，将上述问题变式为“200千克海水可以晒盐46千克，平均晒1千克盐需要多少千克海水？平均每千克海水可以晒盐多少千克？”仍然会有相当数量的学生对题意混淆不清，错误率自然居高不下。令人遗憾的是，这些学生都是因为问题和算式的对应关系模糊不清而出现了张冠李戴式的错误。
                                    归因：就题做题的短视教学行为 
     毋庸讳言，类似这样的问题很多。如果我们完全依赖于和学生耗时间、拼体力、机械练习等教学手段，那是不科学的，低效甚至是无效的。笔者认为，学生学习负担沉重，出现类似上述的顽固性错误，原因虽然复杂，但质量低下的课堂教学有着推卸不了的责任，甚至可以说是主要成因。在这些课堂中，教师的教学方法大多不得要领，常常“拣芝麻丢西瓜”，在一些无关大局的细枝末节上耗费过多的时间。在学生反复出现顽固性错误时，他们又束手无策，不知道从学生的学习心理特点和知识的本质特征入手，剖析错误产生的原因，寻找消除错误的良策，而是简单化地组织学生进行重复操练，强制学生死记解决这些问题的特殊方法，以求得暂时提高解决问题的正确率。
     透视这样的教学现象，我们不难发现，这些老师除了缺乏先进的教学理念、高超的教学艺术、认真的工作态度之外，更加缺乏必要的心理学和数学“根基”。一方面，他们把学生的学习活动简单当成了“刺激—反应”的过程，试图通过强化训练达到方法使用的“自动化”。这实际上把数学思想方法变成了教条，违背了根据问题背景和条件选择适当思想方法的原则。同时，盲目地重复训练，特别是简单重复同质问题的解决过程，会使练习效果“报酬递减”，并使学生忽视对学习过程的监控。另一方面，他们对数学课程和教材的体系结构、内容及其组织方式把握不准，尤其是对数学核心知识的体系结构缺乏必要的了解或存在理解上的偏差和错误，以致在日常教学中照本宣科，就题讲题，缺少前后一致的思想方法主线。这无疑会从根本上降低教学的质量，导致学生的学习缺少思想方法的统帅，学生知识的获得更多的是依赖记忆而不是理解，问题的解决更多的是套用模仿而不是应用策略，新旧知识缺少内在的逻辑联系，没有形成科学、合理的认知结构，知识的本质模糊、稳定性差、区分度低、遗忘速度快、生长和迁移能力弱。所以，课堂教学效益低下，教师和学生身心疲惫也就在所难免。
                      应对：帮助学生建构数学核心知识的结构体系
     怎样才能突破数学教学的瓶颈，有效控制和预防顽固性错误，切实减轻学生过重的学习负担，提高教学的质量与效益呢？笔者认为，我们应该找准数学教学的着力点，从纷繁复杂的内容中走出来，从面面俱到的讲解中走出来，突出主干内容即核心知识的教学，让学生在纵横连接的主框架下，在一以贯之的教学情境中，亲身经历自主探索、主动建构知识的过程，学会举一反三，触类旁通，逐步提高独立获取知识和解决问题的能力。
   1、核心知识教学的理论依据
     所谓数学核心知识，笔者认为是指那些适用范围广，自我生长和迁移能力强的基础知识，它们在数学课程和教材中处于重要的、不可或缺的基础地位，具有内在逻辑的连贯性和一致性。小学阶段的数学核心知识，主要包括搭建小学数学课程和教材框架的最基础和最重要的数学概念、计算公式、运算律和运算性质、数量关系、几何图形特征和计算法则及其所蕴含的数学思想方法，它们是保持教学内容前后连贯和一致的纽带。
     布鲁纳认为，所掌握的知识越基础、越概括，对新学习的适应性就越广泛；用基本的、一般的观念来不断扩大和加深知识，应当成为教育过程的核心。为我国新一轮课程改革提供经验，一贯提倡以问题解决为核心的美国，在2000年明确提出，要“平衡基本技能、概念理解和问题解决”，重新强调基础知识和基本技能的教学。从这个意义上说，小学数学课程和数学教学应该削枝强干，突出重点，以核心基础知识为主体，引导学生寻求一般性模式的思想和追求简洁与形式完美的精神，领悟数学的本质，保持知识的连贯性和思想方法的一致性，做到以不变应万变，而不在细节上作过多拓展。我们认为，数学事实的掌握，数学知识的实质性理解，数学技能的形成，并使三者综合发挥作用，是学好数学的最重要方式。其中，知识的实质性理解是关键。一般来说，核心知识通常蕴含大量的信息，从背景材料、数学思想及应用等各环节都包含了丰富的内容。所以，我们决不该搞题海战术，追求短期效应，而应该着眼于人的可持续发展，充分放大核心知识的作用。我们应该重视通性通法而不追求“特技”，把数学核心知识的教学提升到思想方法教学的层次，使学生既掌握核心知识的具体事实和细节，又要掌握核心知识的纵横联系和层次结构，理解数学思想方法的本质，逐步形成正确的数学观念。这正是提高学生数学素养的关键所在。
   2、核心知识教学的案例分析（实践操作）
     实践证明，准确把握核心知识，及时、准确地沟通新旧知识之间的联系，可以起到事半功倍的教学效果，有利于建构高效的课堂教学，将错误灭于萌芽状态，为学生可持续的发展打下坚实的基础。
     这里，先简单分析一下文初所列举的问题。一些学生之所以对“平均行1千米需要多少升汽油”和“平均每升汽油能行多少千米”两个问题的解答产生混淆，最根本的原因是他们对“平均分”这一核心概念认识不深，理解不透。我们知道，平均分情境是小学生学习除法知识的三种重要情境之一，平均分概念是小学生理解除法概念的重要的经验基础。在小学二年级初步学习除法知识时，教师应该向学生提供丰富的关于平均分的教学情境，有目的地组织学生开展有关平均分的各种操作活动，帮助他们弄清究竟要分什么事物以及其按照什么来平均分，真正理解平均分情境三个变量之间的关系，即全部数量的大小、平均分为几个部分和每部分的大小，初步建构“平均分”的意义。这样，不仅让学生掌握了运算技能，而且发展了他们的数学思考能力。为了促使学生深入理解和应用“平均分”概念，在此后相关年级的教学中，我们还要想方设法为学生创设运用这一概念的各种情境，激活他们多样化的经验，同时引导学生解决不同表征形式的除法问题，让学生在情境与运算之间建立起正确的联系，尤其是在分什么事物、按什么平均分与除法算式中的被除数、除数之间建立起正确的对应关系。可以这么说，当学生真正弄清问题究竟要分什么以及按照什么来平均分，即弄清“平均行1千米需要多少升汽油”就是将汽油的升数按照行使路程的千米数来平均分，“平均每升汽油能行多少千米”就是把路程的千米数按照汽油的升数来平均分，就可以有效预防或减少前文所说的列式错误，即使出现错误也能及时改正，绝不会成为顽固性错误。
     下面让我们从苏教版国标本第9册“小数加法和减法”第1、第2课时的几个教学片断中，体会一下数学核心知识教学应该注意的细节：
     片段一：例1第1问讨论、交流环节的部分实录
     问题：小明买一个讲义夹用去4.75元，小丽买一本笔记本用去3.4元。小明和小丽一共用了多少元？
     师：为什么要把两个加数的小数点对齐？你能用学过的知识解释吗？
     生：…… 
     师：（指着竖式）得数8.15百分位上的5时怎样得来的？
     生：从4.75百分位上移下来的。
     师：这样说对吗？怎样说才是准确的？想一想，刚才同学们是怎样计算小数加法的？
     生：3.4的百分位上可以看作是0，4.75百分位上的5加上0等于5。
     师：为什么3.4的百分位上可以看作是0？
     生：根据小数的性质，3.4的百分位上添0，大小不变……
     片段二：例1第2问讨论、交流环节的部分实录
     问题：小明比小丽多用多少元？
     师：用竖式计算4.75-3.4时，要注意什么？
     生：先把4.75和3.4的小数点对齐，再从最低位减起…… 
     师：得数1.35百分位的5时怎样得来的？
     生：3.4的百分位上实际上是0，4.75百分位上的5减去3.4百分位上的0，就等于5。
     片段三：例2讨论、交流环节的部分实录
     问题：一本笔记本3.4元，一枝水彩笔2.65元。一本笔记本比一枝水彩笔贵多少元？
     师：用竖式计算时，我们能把减数百分位上的5直接移到得数的百分位上吗? 为什么？
     生：不能。
     生：因为计算3.4-2.65，先把小数点对齐，再从百分位减起……
     师：可是被减数百分位上没有数字呀。
     生：根据小数的性质，被减数3.4的百分位上可以添上0。
     师：说得很好！你们认为计算这样的小数减法需要注意什么？
     片段四：“试一试”讨论、交流环节的部分实录
     问题：一枝水彩笔2.65元，一枝钢笔8元。一枝水彩笔比一枝钢笔便宜多少元？
     师：计算8-2.65时，要注意什么？为什么？
     生：因为被减数8的十分位、百分位上没有数字，计算时，可以在十分位和百分位上添上0。
     生：根据小数的性质，小数的末尾添上0，大小不变。
     生：添0时，在8的右下角要先点上小数点。
     生：添0和点小数点的过程可以不写出来，记在脑子里就行了…… 
     师：同学们说得真好！你们认为今天学习的小数减法与上节课有什么不同？计算时要注意什么？
     生：被减数的小数位数没有减数的小数位数多。
     生：计算时，可以根据小数的性质，在被减数缺少的小数位数上添上0。
     生：如果被减数是整数，添0时要在它的右下角要先点上小数点……
     剖析这则案例，我们可以清楚地看出学生在教师的引领下主动建构知识，体会小数加、减法与整数加、减法在算理上的联系，理解“把小数点对齐”就是“把相同数位对齐”，弄清“只有相同计数单位的数才能直接相加减”的算理，从而真正掌握小数加、减法的计算方法。这里值得学习和借鉴的是，“片段一”中学生说出“得数8.15百分位上的5是从4.75百分位上移下来”时，教者并没有因为学生正确计算结果的获得和似乎合理思维过程的表述，顺势过渡至下一环节，而是引导学生借助小数的性质，来理解“3.4百分位上是0，4.75百分位上的5加上3.4百分位上的0得到8.15百分位上的5”的算理。如此操作，不仅及时纠正了学生在学习过程中出现的小错误，而且巧妙地为后续教学提前进行了必要的孕伏，分散了“被减数的小数位数少于减数的减法”这一教学难点，避免出现“把减数百分位上的数移下来”的错误，以最少的时间获得了最大的效益和最佳的效果。此般教学的高明之处，正是在于教者凸现了加减法计算法则这一核心知识的本质，为学生提供了与有关知识内在的逻辑结构交融在一起的、一以贯之的、比较稳定的教学情境、思维方式和解决问题的策略，引导学生学会并主动进行知识、技能和策略的迁移。当然，关于核心知识的教学案例不胜枚举！
  3、建立核心知识的结构体系
     认知心理学认为，数学教学的中心任务是塑造学生良好的数学认知结构，使之具有不断吸收新的数学知识的能力和知识自我生长的能力。而良好的认知结构，是以数学核心知识为联结点，形成的具有自我生长活力的知识网络系统。教学中，我们要“反复地回到这些基本观念”，并“以这些基本观念为基础”，根据数学核心知识的内部联系，引导学生通过“多元联系表示”，加强与相关知识的融会贯通，形成结构化的知识组块，增加知识的生长活力以及知识检索和提取线索，促进学习的迁移、知识的理解和问题的解决。需要指出的是，在单一情景中获得的知识没有活力，知识之间的联结简单而贫乏，一旦背景发生变化，知识的表征和问题的解决就会发生困难。所以，教学中应该把知识置于多种具有一定复杂性的问题情境中，引导学生对知识形成多角度、丰富的理解，从而使他们在面临问题时能更容易地激活知识，更顺利地解决问题。
     由此可见，我们只有找准课堂教学的着力点，真正把握数学核心知识，弄清其内涵和外延、各个阶段的呈现形式以及变式与联系，领悟其所反映的数学思想方法，并努力贯穿于数学教学的始终，才能引领和帮助学生更加准确地把握新旧知识之间内在的逻辑线索，逐步构建一个反映数学内在发展逻辑、符合学生数学认知规律的核心结构体系，形成生长功能强大的数学认知结构，从而将其所承载的知识和技能自觉地从一种情境迁移到另一种情境，提高数学教学的质量和效益，减轻学生学习的负担，提升学生独立获取新知识和解决问题的能力，培养学生的科学精神和数学素养。
（原文发表于《中小学数学》2008年1-2期）